Bài viết này có thể bàn quá sâu về chuyên môn đối với đại đa số độc giả hiểu. Vui lòng giúp cải thiện nó để làm cho nó dễ hiểu hơn đối với những người không phải là chuyên gia, mà không loại bỏ các chi tiết chuyên môn quan trọng nào.

Xét phương trình Schrödinger độc lập với thời gian cho một hạt tử trong một chiều, dưới ảnh hưởng của một thế năng quả đồi V ( x ) {\displaystyle V(x)} .

− ℏ 2 2 m d 2 d x 2 Ψ ( x ) + V ( x ) Ψ ( x ) = E Ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)} d 2 d x 2 Ψ ( x ) = 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) Ψ ( x ) {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)}

Bây giờ, thay hàm sóng Ψ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)} như là dạng mũ của một hàm.

Ψ ( x ) = e Φ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)}} Φ ″ ( x ) + Φ ′ ( x ) 2 = 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) {\displaystyle \Phi ''(x)+\Phi '(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}

Ta hãy tách Φ ′ ( x ) {\displaystyle \Phi '(x)} thành phần thực và phần ảo.

Φ ′ ( x ) = A ( x ) + ı B ( x ) {\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+\imath B(x)} A ′ ( x ) + A ( x ) 2 − B ( x ) 2 = 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) {\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)} B ′ ( x ) − 2 A ( x ) B ( x ) = 0 {\displaystyle B'(x)-2A(x)B(x)=0}

Tiếp theo chúng ta muốn phép tính gần đúng bán cổ điển để giải. Tức là chúng ta sẽ khai triển mỗi hàm như là một chuỗi lũy thừa trong ℏ {\displaystyle \hbar } . Từ các phương trình này chúng ta có thể thấy rằng chuỗi lũy thừa phải bắt đầu với ít nhất một bậc của ℏ − 1 {\displaystyle \hbar ^{-1}} để thỏa mãn phần thực của hàm này. Nhưng chúng ta lại muốn có một giới hạn cổ điển tốt, chúng ta cũng mong muốn để bắt đầu với một lũy thừa bậc cao nhất có thể của hằng số Plank

A ( x ) = 1 ℏ ∑ i = 0 ∞ ℏ i A i ( x ) {\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=0}^{\infty }\hbar ^{i}A_{i}(x)} B ( x ) = 1 ℏ ∑ i = 0 ∞ ℏ i B i ( x ) {\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=0}^{\infty }\hbar ^{i}B_{i}(x)}

Các ràng buộc trên các hạng tử bậc thấp nhất như sau

A 0 ( x ) 2 − B 0 ( x ) 2 = 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)} A 0 ( x ) B 0 ( x ) = 0 {\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0}

Nếu biên độ thay đổi chậm như khi so sánh với pha, ta đặt A 0 ( x ) = 0 {\displaystyle A_{0}(x)=0} và nhận được

B 0 ( x ) = ± 2 m ( E − V ( x ) ) {\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}

Điều trên chỉ hiệu lực khi bạn có nhiều năng lượng hơn thế năng - chuyển động cổ điển. Sau khi tiến hành cùng một thủ tục trên bậc tiếp theo của biểu thức khai triển ta có

Ψ ( x ) ≈ C e ı ∫ d x 2 m ℏ 2 ( E − V ( x ) ) + θ 2 m ℏ 2 ( E − V ( x ) ) 4 {\displaystyle \Psi (x)\approx C{\frac {e^{\imath \int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}}

Mặt khác, nếu pha viết đổi chậm như khi so sánh với biên độ, ta đặt B 0 ( x ) = 0 {\displaystyle B_{0}(x)=0} và nhận được

A 0 ( x ) = ± 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}}

Điều trên chỉ hiệu lực khi bạn có nhiều thế năng hơn năng lượng - chuyển động đường hầm. Đơn giản bậc tiếp theo của biểu chức khai triển cho ra

Ψ ( x ) ≈ C + e + ∫ d x 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) + C − e − ∫ d x 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) 4 {\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}

Rõ ràng từ biểu thức mẫu số, thì cả hai phép giải gần đúng trên là không tốt ở gần điểm tới hạn cổ điển E = V ( x ) {\displaystyle E=V(x)} . Cái mà chúng ta có là các lời giải xa khỏi đồi thế năng và thấp hơn đồi thế năng. Xa khỏi đồi thế năng, hạt tử sẽ vận hành tương tự như một sóng tự do - pha (của nó) dao động. thấp hơn đồi thế năng, hạt tử sẽ có sự thay đổi theo lũy thừa trong biên độ.

Trong một vấn đề đường hầm đặc biệt, ta có thể nghi ngờ rằng sự chuyển đổi biên độ sẽ tỉ lệ thuận với e − ∫ d x 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) {\displaystyle e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}} và do đó, đường hầm là dao động tắt dần một cách lũy thừa bởi các độ lệch to lớn từ chuyển động khả thi cổ điển.

Nhưng để hoàn tất, chúng ta phải tìm ra các lời giải gần đúng khắp nơi và thỏa mãn các hệ số để tạo được một lời giải gần đúng toàn cục. Chúng ta phải tính gần đúng lời giải ở gần điểm tới hạn cổ điển E = V ( x ) {\displaystyle E=V(x)} .

Hãy ký hiệu điểm tới hạn cổ điển là x 1 {\displaystyle x_{1}} . Bây giờ, vì ở gần E = V ( x 1 ) {\displaystyle E=V(x_{1})} , ta có thểdể dàng khai triển 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)} trong dạng chuỗi lũy thừa.

2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) = U 1 ( x − x 1 ) + U 2 ( x − x 1 ) 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots }

Hãy chỉ tính gần đúng bậc tuyến tính 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) = U 1 ( x − x 1 ) {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})}

d 2 d x 2 Ψ ( x ) = U 1 ( x − x 1 ) Ψ ( x ) {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)}

Phương trình vi phân này thấy như là không dẫn tới đơn giản. Nó cần vài kĩ xão để biến đổi thành một phương trình Bessel. Lời giải là như sau

Ψ ( x ) = x − x 1 ( C + 1 3 J + 1 3 ( 2 3 U 1 ( x − x 1 ) 1 3 ) + C − 1 3 J − 1 3 ( 2 3 U 1 ( x − x 1 ) 1 3 ) ) {\displaystyle \Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{+{\frac {1}{3}}}J_{+{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{\frac {1}{3}}\right)+C_{-{\frac {1}{3}}}J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{\frac {1}{3}}\right)\right)}

Hy vọng rằng lời giải này có thể nối các lời giải xa khỏi và thấp hơn. Cho trước 2 hệ số trên một phía (vế) của điểm tới hạn cổ điển, chúng ta sẽ có thể xác định 2 hệ số này trên phía khác của điểm tới hạn cổ điển bằng cách dùng lời giải địa phương này để nối chúng. Chúng ta sẽ có thể tìm ra quan hệ giữa C , θ {\displaystyle C,\theta } và C + , C − {\displaystyle C_{+},C_{-}} .

May mắn thay, các lời giải hàm Bessel (được) tiệm cận với dạng sin, cosin và các hàm mũ trong các giới hạn đúng dắn. Quan hệ đó có thể tìm thấy như sau

C + = 1 2 C cos ⁡ ( θ − π 4 ) {\displaystyle C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}} C − = − C sin ⁡ ( θ − π 4 ) {\displaystyle C_{-}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}

Bây chúng ta có thể xây dựng các lời giải toàn cục và giải đáp các vấn đề đường hầm.

Hệ số truyền dẫn | C outgoing C incoming | 2 {\displaystyle \left|{\frac {C_{\mbox{outgoing}}}{C_{\mbox{incoming}}}}\right|^{2}} , cho một hạt tử vượt đường hầm qua một hàng rào thế năng tìm được là

T = e − 2 ∫ x 1 x 2 d x 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) ( 1 + 1 4 e − 2 ∫ x 1 x 2 d x 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) ) 2 {\displaystyle T={\frac {e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\left(1+{\frac {1}{4}}e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}\right)^{2}}}}

Trong đó, x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} là hai điểm tới hạn cho hàng rào thế nằng này. Nếu chúng ta lấy một giới hạn cổ điển của tất cả các tham số khác lớn hơn rất nhiều so với hằng số Plank, viết tắt là ℏ → 0 {\displaystyle \hbar \rightarrow 0} , chúng ta thấy rằng hệ số truyền dẫn tiến tới 0 một cách đúng đắn. Giới h-ạn cổ điển này sẽ sai trong phi vật lý, nhưng đơn giản hơn nhiều để giải, là trạng thái của một thế năng hình vuông.